无理数的概念(中考数学概念全集)

有理数

1.1.1 有理数的定义：整数和分数的统称。

1.1.2 有理数的分类：

（1）分为整数和分数。

而整数分为正整数、零和负整数；分数分为正分数和负分数。

（2）分为正有理数、零和负有理数。

而正有理数分为正整数和正分数；负有理数分为负整数和负分数。

1.1.3 数轴

1.1.3.1 数轴的定义：

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

1.1.3.2 数轴的三要素：

①原点②正方向③单位长度

1.1.3.3 每个有理数都能用数轴上的点表示

1.1.4 相反数

1.1.4.1 相反数的定义：

只有符号不同的两个数就做互为相反数（注：0 的相反数为 0

1.1.4.2 相反数的意义：

离原点距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数

1.1.4.3 相反数的判别

（1）若 a+b=0，则 a 、b 互为相反数

（2）若两个数的绝对值相等，且符号相反，则这两个数互为相反数。

1.1.5 倒数

1.1.5.1 倒数的定义：

若两个数的乘积等于1，则这两个数互为倒数。 （若 ab=1 ，则 a、b 互为倒数）注：零没有倒数。

1.1.6 绝对值

1.1.6.1 绝对值的定义：

在数轴上，表示一个数到原点的距离（a 的绝对值记作∣ a∣）

1.1.6.2 绝对值的性质：

∣ a∣≥0

1.1.7 有理数大小的比较

1.1.7.1 正数大于 0，负数小于 0

1.1.7.2 正数大于负数

1.1.7.3 两个正数，绝对值大的这个数就大，

绝对值小的这个数就小；两个负数，绝对值大的这个数就小，绝对值小的这个数就大。

1.1.7.4 作差法：两个有理数相减。若大于0，

则被减数大；若等于0，则两个数相等；若小于0，则减数大。

1.1.7.5 作商法：两个有理数相除（除数或分母不为 0）。

若大于 1，则被除数大；若等于 1，则两个数相等；若小于1，则除数大。

1.1.8 有理数的加法

1.1.8.1 运算法则：

①符号相同的两个数相加，取相同的符号，并把绝对值相加

②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对

值减去较小的绝对值（互为相反数的两个数相加等于0）

③任何有理数加0 仍等于这个数。

1.1.8.2 加法交换律在有理数加法中仍然适用，

即：a+b=b+a

1.1.8.3 加法结合律在有理数加法中仍然适用，

即: a+(b+c)=(a+b)+c

1.1.9 有理数的减法

1.1.9.1 运算法则：

减去一个数等于加上这个数的相反数

1.1.9.2 有理数减法 —转化 →有理数加法

1.1.10 有理数的乘法

1.1.10.1 运算法则：

①两个数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 （口诀：正正得正，负负得正，正负的负，负正的负）

②任何有理数乘 0 仍等于0

③多个不等于0 的有理数相乘时，积的符号由负因式的个数决定：当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。

1.1.10.2 乘法交换律在有理数乘法中仍然适用，即ab=ba

1.1.10.3 乘法结合律在有理数乘法中仍然适用，即 a(bc)=(ab)c

1.1.10.4 乘法分配律在有理数乘法中仍然适用，即 a(b+c)=ab+ac

1.1.11 有理数的除法

1.1.11.1 运算法则：

除以一个数等于乘上这个数的倒数（除数不能为 0，否则无意义）

1.1.11.2 有理数除法 — 转化 →有理数乘法

1.1.12 有理数的乘方

1.1.12.1 有理数乘方的意义：

求相同因数积的运算叫做乘方

1.1.12.2 有理数乘方的表示方法：

n 个相同因数 a 相乘表示为 an，其中 a 称为底数， n 称为指数， 而乘方的结果叫做幂， 读作 “a 的 n 次方 ”或 “a 的 n 次幂 ” （当 n=2 时，读作 a 的平方，简称 a 方）

1.1.12.3 运算规律：

①正数的任何次幂都为正数

②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数

③ 0 的任何次幂都等于 0（ 0 次幂除外）

④任何数的零次幂都等 于 1（0 次幂除外）

1.1.13 有理数的混合运算

1.1.13.1 运算顺序：

①先算乘方 （即：三级运算），再算乘除 （即：二级运算）， 最后算加减（即：一级运算）

②如果是同级运算，则按从左到右的运算顺序计算

③如果有括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。

1.1.14 科学记数法

1.1.14.1 科学记数法的定义：

把一个大于10 的有理数记成a*10n 的形式（其中 1≤ a ≤10）叫做科学记数法。

1.1.15 近似数

1.1.15.1 近似数的定义：

接近准确数而不等于准确数的数叫做这个准确数的近似数或近似值。

1.1.15.2 求近似值的方法：

①四舍五入法

②收尾法（进一法）

③去尾法。

1.1.15.3 有效数字的定义：

一个近似数精确到哪一位，从左起第一个不是0的数字起，到这一位数字上的所有数字（包括其中的0）叫做这个近似值的有效数字。

实数

1.2.1 平方根

1.2.1.1 平方根的定义：

如果一个数的平方等于， 这个数就叫做的平方根 （或二次方根），即 ，我们就说是 的平方根。

1.2.1.2 平方根的表示方法：

如果（ ＞0），则 的平方根 记作 ，“ ”读作 “正负根号 ”，其中 读作 “二次根号 ”，2 叫做根指数，叫做被开方数。

1.2.1.3 平方根的性质：

一个正数的平方根有两个， 这两个平方根互为相反数；0 的平方根只有一个，就是 0；负数没有平方根。

1.2.1.4 开平方的定义：

求一个数的平方根的运算就叫做开平方（开平方和平方互为逆运算） 。

1.2.2 算术平方根

1.2.2.1 算术平方根的定义：

正数有两个平方根，其中正数a 的正的平方根叫做 的算术平方根，记作，读作 “根号 ”。

1.2.2.2 算术平方根的性质：

①具有双重非负性，即：≥0， ≥0

② =a（ ≥0）

③ =∣∣，当 ≥0时， =∣∣ = ；当 ≤0时， =∣∣ =-

1.2.3 立方根

1.2.3.1 立方根的定义：

如果一个数的立方等于，这个数就叫做的立方根 （或叫做的三次方根）

1.2.3.2 立方根的表示方法：

如果,则 x 叫做 a 的立方根，记作，其中 叫做被开方数， 3 叫做根指数。

1.2.3.3 立方根的性质：

①正数有一个立方根， 仍为正数， 负数有一个立方根，仍为负数，0 的立方根仍为 0。

② 1.2.3.4 开立方的定义：求一个数的立方根的运算叫做开立方（它与立方互为 逆运算）

1.2.4 无理数

1.2.4.1 无理数的定义：

无限不循环小数叫做无理数。

1.2.4.2 判断无理数的注意事项：

①带根号的数不一定是无理数， 如是有理数，而不是无理数；

②无理数不一定是开方开不尽的数，如圆周率

1.2.5 实数

1.2.5.1 实数的定义：

有理数和无理数的统称

1.2.5.2 实数的性质：

①实数与数轴上的点一一对应

②实数a 的相反数是 -a， 实数的倒数是（ ≠0）

③∣∣ ≥0，∣∣ =∣- ∣

④有理数范围内的运算律、幂的运算法则、乘法公式，在实数范围内同样适用

1.2.5.3 两个实数的大小比较：

①正数大于 0，负数小于 0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

②在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大

③作商法：两个实数相除（除数或分母不为0）。若大于 1，则 被除数大；若等于1，则两个数相等；若小于1，则除数大。

④作差法：两个有理数相减。若大于 0，则被减数大；若等于 0，则两个数相等；若小于 0，则减数 大。

1.2.6 二次根式

1.2.6.1 二次根式的定义：

式子（ ≥0）叫做二次根式。

1.2.6.2 二次根式的运算性质：

① （ ≥0， ≥0）② （ ≥0， ＞0）

1.2.6.3 最简二次根式：

满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式

①被开方数的因数是整数，因式是整式

②被开方数中不含能开得尽的因数或因式

1.2.6.4 分母有理化定义：

在分母含有根式的式子中，把分母中的根号划去的过程叫做分母有理化

1.2.6.5 二次根式的混合运算：

应按顺序先做乘方运算，再做乘除运算，最后做加减运算；若有括号，应按小、中、大括号的顺序进行运算。